Maths 04 Comprendre les maths de l’investissement

Gamma : une exposition qui évolue

Comprenez pourquoi l’exposition directionnelle évolue lorsque le sous-jacent bouge.

Comprendre les options et leurs sensibilitésAvancé

Illustration ; autres données constantes

En termes simples

L’idée essentielle

Le gamma mesure comment le delta change lorsque le prix du sous-jacent varie. Si le delta représente la vitesse, le gamma représente le changement de vitesse.

Un gamma élevé signifie que l’exposition à l’option peut changer rapidement. Cela compte souvent près du prix d’exercice et de l’échéance, lorsqu’une petite variation du sous-jacent peut rendre probable une arrivée dans la monnaie qui ne l’était pas auparavant.

Le gamma n’est ni bon ni mauvais en soi. Il décrit à quel point l’exposition de premier ordre peut être instable.

Le delta est la pente de la valeur de l’option par rapport au prix du sous-jacent. Le gamma mesure comment cette pente change lorsque le sous-jacent évolue : c’est la courbure de la relation de valeur. Il s’exprime en variation de delta par unité monétaire du sous-jacent et ne doit donc pas être lu comme une autre sensibilité directe du prix.

À paramètres identiques, les positions acheteuses sur des options européennes d’achat et de vente ont le même gamma positif dans le modèle de Black–Scholes sans dividendes. Une position vendeuse inverse le signe du gamma de la position.

Exemple détaillé

Pourquoi la stabilité du delta n’est pas garantie

Supposons qu’une option ait un delta de 0,50 et un gamma élevé. Une petite variation du sous-jacent peut rapidement rapprocher le delta de 0,60 ou de 0,40.

Ne regarder que le delta initial peut conduire à sous-estimer la vitesse à laquelle la position devient plus directionnelle.

Le gamma rappelle que la mesure du risque peut elle-même évoluer.

Ajoutons un gamma supposé de 0,04 par livre au delta initial hypothétique de 0,50. Pour une hausse de 0,50 £ du sous-jacent, la variation locale du delta est d’environ 0,04 × 0,50 = 0,02. Le delta mis à jour est donc estimé à 0,52, à autres paramètres constants.

L’estimation correspondante de la variation de valeur de l’option au second ordre est différente : 0,50 × 0,50 £, plus la moitié de 0,04 multipliée par le carré de 0,50 £, soit 0,255 £ par unité d’option. Le supplément de 0,005 £ est la contribution de la courbure dans ce développement local illustratif.

Delta initial	0,50
Gamma par livre	0,04
Variation du sous-jacent	+0,50 livre
Nouveau delta approximatif	0,52
Variation de valeur au second ordre	+0,255 livre par unité

Interpréter le résultat

La courbure compte dans les deux sens

Le carré de la variation de prix dans le terme de valeur du second ordre est positif, que le sous-jacent monte ou baisse. Pour une position acheteuse sur une option à gamma positif, ce terme de courbure place la valeur au-dessus de la tangente initiale. Cela décrit la forme de la courbe de valeur du modèle, sans garantir un bénéfice de négociation.

Le gamma peut faire évoluer rapidement une exposition directionnelle auparavant faible. Il aide donc à expliquer pourquoi une position qui semblait localement équilibrée peut avoir une sensibilité différente après une variation de prix. Réestimer les sensibilités change la mesure, mais tout ajustement effectif rencontre aussi des coûts et des contraintes de marché.

Limites et hypothèses

Un développement local n’est pas une revalorisation complète

L’exemple utilise le delta et le gamma initiaux ainsi qu’une variation volontairement petite. Les deux sensibilités peuvent évoluer pendant le mouvement, et des changements simultanés de volatilité ou de temps introduisent des effets laissés de côté par le calcul. Une revalorisation complète du modèle et un prix de marché négociable sont également deux choses différentes.

La formule facultative exige un prix, un prix d’exercice, une volatilité annualisée en décimal et une durée en années strictement positifs. Elle suppose un exercice à l’échéance uniquement, l’absence de dividendes ainsi que des taux et une volatilité constants dans le modèle. Près de l’échéance, la sensibilité autour du prix d’exercice peut devenir très marquée ; affirmer que le gamma augmente partout à l’approche de l’échéance serait trompeur. La formule n’est pas évaluée directement à l’échéance.

Erreur fréquente

Penser que le gamma ne concerne que les professionnels

Le gamma peut sembler technique, mais son idée est accessible. Il indique si le delta affiché actuellement pourrait rester stable ou varier fortement.

Cela compte pour comprendre pourquoi le prix d’une option peut commencer à évoluer plus vite lorsque le sous-jacent approche du prix d’exercice.

Multiplier le gamma par la variation de prix estime un changement de delta. Traiter ce résultat comme une variation de prix fait perdre une unité et omet le facteur un demi et le carré du mouvement nécessaires à l’approximation de valeur du second ordre.

Résumé des formules

Le gamma à partir du delta de Black–Scholes

Exercice à l’échéance uniquement, absence de dividendes et S, K, sigma et T strictement positifs ; le temps T est exprimé en années, sigma en décimal annualisé et r est un taux annuel à capitalisation continue. Le taux et la volatilité sont des paramètres constants du modèle ; les sauts de prix et les frictions de négociation sont exclus. N’appliquez pas directement ces expressions à l’échéance ou lorsque la volatilité est nulle.

N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ; n en est la densité. Les formules décrivent les valeurs de modèle de positions acheteuses sur les options ; le signe des positions modifie l’exposition.

gamma

Γ = \frac{n (d_{1})}{S σ \sqrt{T}}

$Γ$: Sensibilité de second ordre de la valeur de l’option au prix du sous-jacent.
$n (d_{1})$: Densité normale centrée réduite en d1.
$S$: Prix actuel du sous-jacent.
$σ$: Hypothèse de volatilité annualisée.
$T$: Durée jusqu’à l’échéance, en années.

L’expression est maximale lorsque n(d1) est élevé et que le dénominateur est petit.

Démonstration facultative Explorer la démonstration

La démonstration la plus courte part du delta, puis applique la règle de dérivation en chaîne.

01

Partir du delta

Pour l’option d’achat sans dividendes, le delta est N(d1). Celui de l’option de vente est N(d1) moins 1.

Point de départ

$Δ_{call} = N (d_{1})$
02

Dériver le delta par rapport à S

La dérivée de N(d1) est n(d1) multiplié par la dérivée de d1.

Dérivation en chaîne

$Γ = \frac{\partial Δ}{\partial S} = n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial S}$
03

Remplacer la dérivée de d1

Seul ln(S/K) dans d1 varie avec S, ce qui donne ce dénominateur compact.

Dérivée du paramètre

$\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{1}{S σ \sqrt{T}}$
04

Interpréter le résultat

Les gammas de l’option d’achat et de l’option de vente sont identiques, car leurs deltas ne diffèrent que de la constante 1.

Résultat pour le gamma

$Γ_{call} = Γ_{put} = \frac{n (d_{1})}{S σ \sqrt{T}}$

Autoévaluation

Vérifiez votre compréhension

Quelle est l’estimation du delta mis à jour dans l’exemple ?

0,52 : le delta initial de 0,50 plus le gamma de 0,04 par livre multiplié par le mouvement de 0,50 £. C’est une estimation locale à autres paramètres constants.

Pourquoi la contribution de la courbure au prix est-elle de 0,005 £ plutôt que de 0,02 £ ?

Un développement de valeur utilise un demi × gamma × carré de la variation du sous-jacent. Gamma × variation estime au contraire un changement de delta, dont les unités sont différentes.

Un gamma positif garantit-il un rendement d’investissement positif ?

Non. L’option a un prix, les autres paramètres changent, et les coûts comme le temps comptent. Le gamma décrit la courbure, pas la rentabilité d’une stratégie.

Contexte pédagogique

Ce que cette notion aide à comprendre

Le gamma aide à voir pourquoi la mesure du risque d’une option peut devenir plus directionnelle lorsque le sous-jacent approche de niveaux de prix d’exercice importants.

Avertissement

À des fins pédagogiques uniquement

Cet article est fourni uniquement à titre informatif et pédagogique. Les options comportent des risques et ne conviennent pas à tous les investisseurs. Rien ici ne constitue une recommandation d’acheter, de vendre, d’émettre ou de négocier une option.

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Termes clés

Gamma : courbure de la valeur de l’option par rapport au prix du sous-jacent.Delta : sensibilité directionnelle de premier ordre.Terme du second ordre : ici, la moitié du gamma multipliée par le carré de la variation de prix.Position acheteuse sur une option : détention du droit conféré par l’option.