Maths 03 Comprendre les maths de l’investissement

Delta : l’exposition directionnelle

Interprétez la pente locale de la valeur d’une option en fonction du prix du sous-jacent.

Comprendre les options et leurs sensibilitésAvancé

Illustration ; autres données constantes

En termes simples

L’idée essentielle

Le delta est la sensibilité de premier ordre de la valeur d’une option au prix du sous-jacent. Il décrit ce qui arrive à l’option lorsque le cours de l’action varie légèrement et que les autres paramètres du modèle restent constants.

Une option d’achat a normalement un delta positif, car une hausse du prix du sous-jacent accroît la valeur du droit d’acheter. Une option de vente a normalement un delta négatif, car une hausse du prix du sous-jacent réduit la valeur du droit de vendre.

Le delta est local. Il est mesuré pour un prix, un prix d’exercice, une durée, un taux et une volatilité donnés. Il peut changer lorsque le sous-jacent évolue, d’où l’existence du gamma.

Pour une position acheteuse sur une option d’achat, une hausse du prix du sous-jacent augmente généralement la valeur dans le modèle indiqué ; pour une position acheteuse sur une option de vente, elle la réduit. Le delta représente la pente locale de cette relation. Il mesure la variation de la valeur de l’option par unité de variation du sous-jacent, et non un rendement en pourcentage de la prime.

La tangente de l’illustration représente cette pente locale en un point d’une courbe croissante et convexe de valeur d’option d’achat. Cette géométrie est qualitative : elle ne représente ni un prix d’option calibré ni une prévision.

Exemple détaillé

Lire le delta sans lui faire dire davantage

Si une option d’achat a un delta proche de 0,60, une petite hausse d’une livre du sous-jacent est associée à une hausse d’environ 0,60 livre du prix de l’option, avant prise en compte des autres effets.

Pour un contrat hypothétique doté d’un multiplicateur de 100 unités du sous-jacent, cette exposition de premier ordre est d’environ 60 £ pour une variation de 1 £. Il faut vérifier le multiplicateur de chaque contrat réel.

Cette estimation ne vaut que pour une petite variation. Si le sous-jacent évolue fortement, le gamma, la volatilité et le temps peuvent modifier le résultat.

Prenez le delta supposé de 0,60 comme une sensibilité par unité et maintenez la volatilité, les taux et le temps constants. Une hausse de 0,50 £ du sous-jacent donne une estimation de premier ordre de 0,30 £ par unité d’option : 0,60 multiplié par 0,50 £. Une baisse de 0,50 £ donne environ −0,30 £ avec la même sensibilité initiale.

Pour la seule illustration à l’échelle du contrat, supposons un multiplicateur de 100 unités du sous-jacent. L’estimation de 0,30 £ devient 30 £ par contrat. Ce multiplicateur est hypothétique et ne doit pas être présumé valable pour tous les marchés, tous les contrats ou toutes les options ajustées.

Delta de l’option d’achat	0,60
Petite variation du sous-jacent	+1 livre
Variation de premier ordre de l’option	Environ +0,60 livre
Exemple de multiplicateur du contrat	Environ +60 livres pour 100 actions

Interpréter le résultat

Pourquoi la tangente n’est valable que localement

La courbe de valeur d’une option n’est généralement pas une droite. Après une variation du sous-jacent, la pente peut différer du delta initial. Le gamma mesure cette variation du delta. Multiplier le delta initial par une forte variation de prix ignore la courbure et peut donner une mauvaise estimation.

Le delta se distingue aussi de la probabilité d’une opération bénéficiaire. Dans le modèle européen de Black–Scholes sans dividendes, le delta d’une option d’achat est N(d1), tandis que N(d2) est la probabilité risque-neutre d’arriver à échéance dans la monnaie. Ni l’un ni l’autre n’est un taux de réussite mesuré dans le monde réel, et être dans la monnaie ne garantit pas un bénéfice après paiement de la prime et des frais.

Limites et hypothèses

Les conventions qui sous-tendent la formule

La démonstration facultative suppose un prix du sous-jacent, un prix d’exercice, une volatilité et une durée jusqu’à l’échéance strictement positifs ; un sous-jacent sans dividendes ; une volatilité et un taux sans risque à capitalisation continue constants ; et un exercice à l’échéance uniquement. Le temps est mesuré en années et la volatilité exprimée en décimal annualisé. Les formules ne s’appliquent pas directement à l’échéance ou lorsque la volatilité est nulle.

À paramètres de modèle identiques, le delta de l’option de vente est celui de l’option d’achat moins un. Ces valeurs concernent une position acheteuse sur l’option ; une position vendeuse inverse le signe de l’exposition. Les dividendes, l’exercice anticipé et d’autres modèles de valorisation modifient le calcul. L’idée centrale reste celle d’une sensibilité locale dont les autres paramètres et les unités sont précisés.

Erreur fréquente

Traiter le delta comme une probabilité fixe

Le delta sert parfois de raccourci pour approcher une probabilité dans le cas de certaines options hors de la monnaie, mais il ne représente pas une fréquence prévisionnelle mesurée.

Il est plus prudent de le lire comme une sensibilité. Le delta renseigne sur l’exposition à une petite variation du sous-jacent, sous les hypothèses du modèle.

Un delta de 0,60 ne signifie pas que l’option gagne 60 % lorsque l’action gagne 1 %. La dérivée est une pente exprimée en unité monétaire par unité monétaire ; les rendements en pourcentage dépendent également du prix du sous-jacent et de celui de l’option.

Résumé des formules

Delta de Black–Scholes sans dividendes

Exercice à l’échéance uniquement, absence de dividendes et S, K, sigma et T strictement positifs ; le temps T est exprimé en années, sigma en décimal annualisé et r est un taux annuel à capitalisation continue. Le taux et la volatilité sont des paramètres constants du modèle ; les sauts de prix et les frictions de négociation sont exclus. N’appliquez pas directement ces expressions à l’échéance ou lorsque la volatilité est nulle.

N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ; n en est la densité. Les formules décrivent les valeurs de modèle de positions acheteuses sur les options ; le signe des positions modifie l’exposition.

Prix de l’option d’achat

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

$C$: Valeur théorique de l’option d’achat.
$S$: Prix actuel du sous-jacent.
$K$: Prix d’exercice.
$r$: Taux sans risque à capitalisation continue selon la convention de ce modèle.
$T$: Durée jusqu’à l’échéance, en années.

Il s’agit d’un prix de modèle, pas d’une prévision ni d’une recommandation.

Paramètres standardisés

\begin{matrix} d_{1} = \frac{\ln (S / K) + (r + 0.5 σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}} \\ d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T} \end{matrix}

$σ$: Hypothèse de volatilité, exprimée en décimal annualisé.
$N$: Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
$n$: Densité de la loi normale centrée réduite.

delta

\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}

Démonstration facultative Explorer la démonstration

La démonstration ci-dessous explique pourquoi les termes supplémentaires issus de la dérivation s’annulent dans la convention de Black–Scholes sans dividendes.

01

Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à S

Le prix de l’option d’achat contient S dans le premier terme ainsi que dans d1 et d2 : la règle du produit et celle de dérivation en chaîne interviennent donc toutes deux.

Prix de l’option d’achat dérivé

$\frac{\partial C}{\partial S} = N (d_{1}) + S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial S} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial S}$
02

Utiliser la dérivée commune de d1 et d2 par rapport à S

d1 et d2 varient du même montant lorsque S change, car d2 est égal à d1 moins un terme qui ne contient pas S.

Dérivée commune

$\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{\partial d_{2}}{\partial S} = \frac{1}{S σ \sqrt{T}}$
03

Utiliser l’identité des densités

Dans cette convention, les deux termes de densité sont proportionnels selon les facteurs indiqués. Cela annule les deux termes issus de la dérivation en chaîne.

Identité d’annulation

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Interpréter le résultat

Après annulation, le delta de l’option d’achat est N(d1). Celui de l’option de vente découle de la parité achat–vente : dériver C moins P revient à dériver S moins le prix d’exercice actualisé.

Résultat pour le delta

$\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}$

Autoévaluation

Vérifiez votre compréhension

Quel est l’effet de premier ordre par unité d’une hausse de 0,50 £ avec un delta de 0,60 ?

Environ +0,30 £, à autres paramètres constants. Avec le multiplicateur de 100 unités explicitement supposé, cela représente +30 £ par contrat avant frais.

Pourquoi le même delta peut-il devenir imprécis pour une variation plus forte ?

La pente de la courbe change. Le gamma et les variations d’autres paramètres peuvent modifier le delta ; prolonger trop loin la tangente initiale peut donc mal représenter la variation de valeur.

Le delta d’une option d’achat est-il la probabilité d’une opération bénéficiaire ?

Non. Il s’agit d’une sensibilité. Même la probabilité risque-neutre distincte du modèle d’arriver dans la monnaie n’est pas une probabilité réelle de bénéfice après prime et frais.

Contexte pédagogique

Ce que cette notion aide à comprendre

Le delta aide à distinguer l’exposition directionnelle des nombreuses autres raisons pour lesquelles une prime d’option peut varier.

Avertissement

À des fins pédagogiques uniquement

Cet article est fourni uniquement à titre informatif et pédagogique. Les options comportent des risques et ne conviennent pas à tous les investisseurs. Rien ici ne constitue une recommandation d’acheter, de vendre, d’émettre ou de négocier une option.

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Termes clés

Delta : variation locale de la valeur d’une option par unité de variation du prix du sous-jacent.Gamma : variation du delta par unité de variation du prix du sous-jacent.Probabilité risque-neutre : probabilité sous la mesure de valorisation du modèle.Multiplicateur du contrat : quantité contractuelle servant à convertir les montants par unité à l’échelle du contrat.