Matemáticas 04 Entender las matemáticas de la inversión

Gamma: una exposición que cambia

Comprender por qué cambia la exposición direccional al moverse el subyacente.

Comprender las opciones y sus sensibilidadesAvanzado

Ilustración; otros datos constantes

En palabras sencillas

La idea central

Gamma mide cómo cambia delta cuando cambia el precio del subyacente. Si delta es la velocidad, gamma es el cambio de velocidad.

Una gamma alta significa que la exposición de la opción puede cambiar rápidamente. Esto suele importar cerca del precio de ejercicio y del vencimiento, cuando un pequeño movimiento del subyacente puede hacer que terminar dentro del dinero pase de ser poco probable a probable.

Gamma no es buena ni mala por sí misma. Describe lo inestable que puede ser la exposición de primer orden.

Delta es la pendiente del valor de la opción respecto al precio del subyacente. Gamma mide cómo cambia esa pendiente cuando se mueve el subyacente: es la curvatura de la relación de valor. Sus unidades son cambio de delta por unidad monetaria del subyacente, por lo que no debe leerse como otra sensibilidad directa del precio.

Con variables idénticas, las posiciones compradoras en opciones europeas de compra y de venta tienen la misma gamma positiva en el modelo de Black–Scholes sin dividendos. Una posición vendedora invierte el signo de gamma de la posición.

Ejemplo desarrollado

Por qué no está garantizada una delta estable

Supongamos que una opción tiene delta de 0,50 y gamma alta. Un pequeño movimiento del subyacente puede desplazar delta rápidamente hacia 0,60 o 0,40.

Quien solo observe la delta inicial puede subestimar la rapidez con la que la posición adquiere más exposición direccional.

Gamma advierte de que la propia medida de riesgo puede cambiar.

Añadamos una gamma supuesta de 0,04 por libra a la delta inicial hipotética de 0,50. Para una subida de 0,50 £ del subyacente, el cambio local de delta es aproximadamente 0,04 × 0,50 = 0,02. La estimación actualizada de delta es, por tanto, 0,52, con las demás variables constantes.

La estimación correspondiente de segundo orden del cambio en el valor de la opción es diferente: 0,50 × 0,50 £, más la mitad de 0,04 multiplicada por el cuadrado de 0,50 £, da 0,255 £ por unidad de opción. Las 0,005 £ adicionales son la contribución de la curvatura en este desarrollo local ilustrativo.

Delta inicial	0,50
Gamma por libra	0,04
Movimiento del subyacente	+0,50 libras
Nueva delta aproximada	0,52
Cambio de valor de segundo orden	+0,255 libras por unidad

Interpretar el resultado

La curvatura importa en ambos sentidos

El cuadrado del movimiento de precio en el término de valor de segundo orden es positivo tanto si el subyacente sube como si baja. Para una posición compradora en una opción con gamma positiva, ese término de curvatura sitúa el valor por encima de la tangente recta inicial. Esto describe la forma de la curva de valor del modelo; no implica un beneficio de negociación garantizado.

Gamma puede hacer que una exposición direccional antes pequeña cambie con rapidez. Por ello ayuda a explicar por qué una posición que parecía localmente equilibrada puede tener otra sensibilidad después de un movimiento de precio. Reestimar las sensibilidades cambia la medición, pero cualquier ajuste efectivo también afronta costes y restricciones de mercado.

Límites y supuestos

Un desarrollo local no es una revaloración completa

El ejemplo usa delta y gamma iniciales y un movimiento deliberadamente pequeño. Ambas sensibilidades pueden cambiar durante el movimiento, y los cambios simultáneos de volatilidad o tiempo introducen efectos que el cálculo omite. Una revaloración completa del modelo y un precio de mercado al que se pueda negociar también son cosas distintas.

La fórmula opcional exige precio, precio de ejercicio, volatilidad anualizada en decimales y tiempo en años positivos. Supone ejercicio solo al vencimiento, ausencia de dividendos y tipos y volatilidad constantes en el modelo. Cerca del vencimiento, la sensibilidad alrededor del precio de ejercicio puede volverse muy acusada; sería engañoso afirmar de forma general que gamma aumenta en todos los puntos a medida que se acerca el vencimiento. La fórmula no se evalúa directamente al vencimiento.

Error frecuente

Pensar que gamma solo interesa a profesionales

Gamma puede parecer técnica, pero su idea básica es accesible. Indica si la delta mostrada ahora podría mantenerse estable o cambiar bruscamente.

Esto importa para entender por qué el precio de una opción puede empezar a moverse más deprisa cuando el subyacente se acerca al precio de ejercicio.

Multiplicar gamma por el movimiento de precio estima un cambio de delta. Tratar esa cantidad como un cambio de precio pierde una unidad y omite el factor de un medio y el movimiento al cuadrado necesarios para aproximar el valor a segundo orden.

Resumen de fórmulas

Gamma a partir de delta de Black–Scholes

Ejercicio solo al vencimiento, sin dividendos y con S, K, sigma y T positivos; el tiempo T se expresa en años, sigma como decimal anualizado y r como tipo anual con capitalización continua. El tipo de interés y la volatilidad son variables constantes del modelo; se excluyen los saltos de precio y las fricciones de negociación. Estas expresiones no deben aplicarse directamente al vencimiento ni con volatilidad cero.

N es la función de distribución acumulada de la normal estándar; n es su densidad. Las fórmulas describen valores del modelo para posiciones compradoras en opciones; el signo de las posiciones cambia la exposición.

gamma

Γ = \frac{n (d_{1})}{S σ \sqrt{T}}

$Γ$: Sensibilidad de segundo orden del valor de la opción al precio del subyacente.
$n (d_{1})$: Densidad de la normal estándar en d1.
$S$: Precio actual del subyacente.
$σ$: Supuesto de volatilidad anualizada.
$T$: Tiempo hasta el vencimiento en años.

La expresión es mayor cuando n(d1) es alta y el denominador es pequeño.

Derivación opcional Explorar la derivación

La derivación más breve y clara parte de delta y aplica la regla de la cadena.

01

Partir de delta

Para la opción de compra sin dividendos, delta es N(d1). La delta de la opción de venta es N(d1) menos 1.

Punto de partida

$Δ_{call} = N (d_{1})$
02

Derivar delta respecto de S

La derivada de N(d1) es n(d1) multiplicada por la derivada de d1.

Regla de la cadena

$Γ = \frac{\partial Δ}{\partial S} = n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial S}$
03

Sustituir la derivada de d1

Dentro de d1, solo ln(S/K) cambia con S, lo que da lugar al denominador compacto.

Derivada de la variable

$\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{1}{S σ \sqrt{T}}$
04

Interpretar el resultado

Las gamma de las opciones de compra y de venta coinciden porque sus delta solo difieren en la constante 1.

Resultado de gamma

$Γ_{call} = Γ_{put} = \frac{n (d_{1})}{S σ \sqrt{T}}$

Autoevaluación

Comprobar la comprensión

¿Cuál es la estimación actualizada de delta en el ejemplo?

0,52: la delta inicial de 0,50 más gamma de 0,04 por libra multiplicada por el movimiento de 0,50 £. Es una estimación local con las demás variables constantes.

¿Por qué la contribución de la curvatura al precio es de 0,005 £ y no de 0,02 £?

Un desarrollo del valor utiliza un medio × gamma × el cuadrado del movimiento del subyacente. Gamma × movimiento estima, en cambio, una variación de delta, que tiene unidades distintas.

¿Garantiza una gamma positiva una rentabilidad de inversión positiva?

No. La opción tiene un precio, las demás variables cambian, y los costes y el tiempo importan. Gamma describe la curvatura, no la rentabilidad de una estrategia.

Contexto de aprendizaje

Qué ayuda a entender esta idea

Gamma ayuda a ver por qué la lectura del riesgo de una opción puede volverse más direccional cuando el precio del subyacente se acerca a niveles importantes de ejercicio.

Aviso

Solo para fines educativos

Este artículo tiene fines exclusivamente informativos y educativos. Las opciones implican riesgos y no son adecuadas para todos los inversores. Nada de lo aquí expuesto constituye una recomendación de comprar, vender, emitir o negociar una opción.

Ruta

Comprender las opciones y sus sensibilidades

Explorar esta ruta

Términos

Gamma: curvatura del valor de una opción respecto al precio del subyacente.Delta: sensibilidad direccional de primer orden.Término de segundo orden: aquí, la mitad de gamma multiplicada por el cuadrado del movimiento de precio.Posición compradora en una opción: titularidad del derecho que otorga la opción.