Matemáticas 05 Entender las matemáticas de la inversión

Vega: sensibilidad a la volatilidad

Traducir cambios de volatilidad en una estimación local del valor de una opción.

Comprender las opciones y sus sensibilidadesAvanzado

Opción simple comprada; otros datos fijos

En palabras sencillas

La idea central

Vega mide cómo cambia el valor de una opción cuando cambia la volatilidad implícita. Aísla la variable de volatilidad manteniendo constantes las demás variables del modelo.

En el modelo europeo sin dividendos, una volatilidad mayor eleva el valor de las posiciones compradoras en opciones de compra y de venta gracias al perfil convexo del valor al vencimiento. Es una relación de valor, no un aumento universal de la probabilidad de terminar dentro del dinero.

Por convención de mercado, vega suele cotizarse por punto de volatilidad, mientras que la derivada de Black–Scholes se expresa de forma natural por 1,00 de volatilidad. Esta diferencia de unidades importa.

La volatilidad implícita es la variable de volatilidad que hace que un modelo de valoración elegido reproduzca un precio de opción dado. No es una observación directa de la volatilidad futura, y distintos precios de ejercicio o vencimientos pueden implicar valores diferentes. Vega pregunta cómo cambia el valor del modelo ante un pequeño cambio en esa variable, con las demás constantes.

La derivada sin convertir usa la volatilidad en decimales. Muchas plataformas cotizan en cambio el cambio de valor por punto porcentual de volatilidad, de modo que hay que comprobar la unidad antes de multiplicar.

Ejemplo desarrollado

Leer la unidad de volatilidad

Supongamos que una plataforma muestra una vega de 0,08 por punto de volatilidad. Si la volatilidad implícita sube del 20 % al 21 %, se espera que el valor de la opción aumente aproximadamente 0,08 antes de considerar otros efectos.

En la convención del cálculo diferencial sin convertir, la misma sensibilidad es de 8,00 por 1,00 de volatilidad, porque un punto porcentual es 0,01.

Esto no significa que la volatilidad vaya a subir. Solo indica la sensibilidad local del modelo a esa variable.

En la cotización hipotética, vega es de 0,08 £ por unidad de opción y por punto porcentual de volatilidad. Pasar del 20 % al 21 % es un punto porcentual, o 0,01 en unidades decimales de volatilidad. Por tanto, el efecto de primer orden sobre el valor es aproximadamente +0,08 £, con las demás variables constantes.

Para un movimiento de medio punto porcentual del 20 % al 20,5 %, la estimación es de +0,04 £. Un incremento relativo del 1 % desde el 20 % daría, en cambio, un 20,2 %: un movimiento de 0,2 puntos porcentuales, que produciría unas +0,016 £. Las respuestas difieren por el tamaño de los cambios, no por modelos distintos.

Vega de la plataforma	0,08 por punto de volatilidad
Cambio de volatilidad implícita	Del 20 % al 21 %
Movimiento de primer orden de la opción	Aproximadamente +0,08
Unidad de la derivada sin convertir	Unas 8,00 por 1,00 de volatilidad

Interpretar el resultado

Incertidumbre y perfiles convexos de valor al vencimiento

Una posición compradora en una opción estándar tiene un perfil convexo de valor al vencimiento: los resultados adversos no generan una obligación de ejercicio para su titular, mientras que los favorables pueden aportar valor. Bajo los supuestos de Black–Scholes indicados, aumentar la volatilidad eleva el valor de las posiciones compradoras en opciones de compra y de venta. No tiene por qué elevar la probabilidad de terminar dentro del dinero en todas las situaciones iniciales.

Con el mismo precio de ejercicio, vencimiento y demás variables, la opción de compra y la de venta del modelo tienen la misma vega. Es una propiedad de los precios del modelo, no una afirmación de que todas las opciones de compra y de venta del mercado tengan la misma exposición a volatilidad. Variables contractuales distintas pueden dar sensibilidades muy diferentes.

Límites y supuestos

La cotización necesita su convención

La fórmula sin convertir expresa el cambio de valor por 1,00 de volatilidad decimal. Dividirla por 100 da la sensibilidad por punto porcentual. En este ejemplo, una vega sin convertir de 8 corresponde a 0,08 por punto; 1,00 es una unidad de la derivada, no un cambio propuesto de 100 puntos porcentuales que deba aplicarse linealmente.

La derivación supone precio del subyacente, precio de ejercicio, volatilidad y tiempo positivos, ejercicio solo al vencimiento, ausencia de dividendos y tipo de interés y volatilidad constantes en el modelo. El tiempo se expresa en años. Las superficies reales de volatilidad implícita pueden moverse de forma desigual según los precios de ejercicio y vencimientos, por lo que un único cambio paralelo de volatilidad es una simplificación. Los cambios mayores también modifican la propia vega.

Error frecuente

Confundir la dirección de la volatilidad con la del precio

Vega no dice si el precio del subyacente subirá o bajará. Dice que el valor de la opción es sensible al precio que el mercado asigna al movimiento esperado.

Una opción de compra puede perder valor cuando sube el subyacente si la volatilidad implícita cae lo suficiente y dominan otros efectos. Las sensibilidades ayudan a separar esas fuerzas.

Una opción puede perder valor pese a un movimiento favorable del subyacente si otras contribuciones, incluida una caída de volatilidad, lo superan. Vega ayuda a explicar esa posibilidad sin predecir la magnitud o dirección de los cambios futuros de volatilidad.

Resumen de fórmulas

Vega de Black–Scholes y cotización de mercado

Ejercicio solo al vencimiento, sin dividendos y con S, K, sigma y T positivos; el tiempo T se expresa en años, sigma como decimal anualizado y r como tipo anual con capitalización continua. El tipo de interés y la volatilidad son variables constantes del modelo; se excluyen los saltos de precio y las fricciones de negociación. Estas expresiones no deben aplicarse directamente al vencimiento ni con volatilidad cero.

N es la función de distribución acumulada de la normal estándar; n es su densidad. Las fórmulas describen valores del modelo para posiciones compradoras en opciones; el signo de las posiciones cambia la exposición.

vega

vega = S n (d_{1}) \sqrt{T}

$S$: Precio actual del subyacente.
$n (d_{1})$: Densidad de la normal estándar en d1.
$T$: Tiempo hasta el vencimiento en años.
$vega / 100$: Cambio aproximado del valor por una variación de un punto porcentual de volatilidad.

Algunos textos usan la letra griega nu para vega, pero las pantallas de opciones suelen etiquetarla como Vega.

Derivación opcional Explorar la derivación

La derivación compacta utiliza la relación entre d1 y d2 para evitar desarrollar cada derivada de d1.

01

Derivar el precio de la opción de compra respecto de la volatilidad

Solo d1 y d2 dependen de la volatilidad en el precio de la opción de compra sin dividendos.

Derivada respecto de la volatilidad

$\frac{\partial C}{\partial σ} = S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial σ} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial σ}$
02

Relacionar las dos derivadas de volatilidad

Como d2 es igual a d1 menos sigma multiplicado por la raíz cuadrada de T, la derivada de d2 respecto de la volatilidad es la derivada de d1 menos la raíz cuadrada de T.

Relación de d2

$\frac{\partial d_{2}}{\partial σ} = \frac{\partial d_{1}}{\partial σ} - \sqrt{T}$
03

Usar la misma identidad de las densidades

La misma identidad utilizada para delta hace coincidir los términos de densidad escalados y deja únicamente el término con la raíz cuadrada del tiempo.

Identidad de cancelación

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Interpretar el resultado y convertir las unidades

La derivada sin convertir se expresa por 1,00 de volatilidad. Las pantallas de mercado suelen mostrar el importe por movimiento de un punto porcentual, es decir, una centésima parte de esa derivada.

Resultado de vega

$\begin{matrix} {vega}_{raw} = S n (d_{1}) \sqrt{T} \\ {vega}_{point} = {vega}_{raw} / 100 \end{matrix}$

Autoevaluación

Comprobar la comprensión

¿Cuánto representa en volatilidad decimal un movimiento del 20 % al 21 %?

0,01, equivalente a un punto porcentual. Es un incremento relativo del 5 %, otra forma de medir el mismo cambio.

¿Cuál es la estimación de valor para pasar del 20 % al 20,5 % con vega de 0,08 £ por punto?

Aproximadamente +0,04 £ por unidad de opción, porque el movimiento es de medio punto porcentual. La estimación mantiene constantes las demás variables.

¿Por qué se divide vega sin convertir por 100 para cotizarla por punto?

La derivada utiliza una unidad de volatilidad decimal de 1,00. Un punto porcentual es 0,01 de esa unidad, así que su contribución de primer orden al valor es una centésima parte.

Contexto de aprendizaje

Qué ayuda a entender esta idea

Vega ayuda a entender por qué una opción puede moverse alrededor de resultados empresariales, acontecimientos de política económica o tensión de mercado, incluso antes de que el precio del subyacente haya cambiado mucho.

Aviso

Solo para fines educativos

Este artículo tiene fines exclusivamente informativos y educativos. Las opciones implican riesgos y no son adecuadas para todos los inversores. Nada de lo aquí expuesto constituye una recomendación de comprar, vender, emitir o negociar una opción.

Ruta

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Explorar esta ruta

Términos

Vega: sensibilidad del valor a la variable de volatilidad.Volatilidad implícita: variable del modelo inferida a partir del precio de una opción.Punto porcentual de volatilidad: variación de un punto porcentual en la volatilidad.Perfil convexo del valor al ejercicio o al vencimiento: perfil cuya pendiente no disminuye cuando sube el subyacente.

La idea central

Leer la unidad de volatilidad

Incertidumbre y perfiles convexos de valor al vencimiento

La cotización necesita su convención

Confundir la dirección de la volatilidad con la del precio

Vega de Black–Scholes y cotización de mercado

Derivar el precio de la opción de compra respecto de la volatilidad

Relacionar las dos derivadas de volatilidad

Usar la misma identidad de las densidades

Interpretar el resultado y convertir las unidades

Comprobar la comprensión

Qué ayuda a entender esta idea

Solo para fines educativos