Optimisation de portefeuille : ce que les maths peuvent — et ne peuvent pas — décider

Les mathématiques ont besoin d’une question

L’optimisation de portefeuille recherche les pondérations qui répondent au mieux à un objectif mathématique donné tout en respectant des contraintes. L’objectif peut porter sur une mesure de risque estimée ; les contraintes définissent les combinaisons autorisées. Le résultat répond à cette question formelle. Il ne peut pas déterminer si la question couvre tout ce qui compte pour une personne ou une institution.

Ici, l’objectif est la variance minimale, c’est-à-dire la minimisation de la dispersion estimée des rendements du portefeuille dans le modèle. La volatilité est la racine carrée de la variance. Aucune des deux mesures ne décrit tous les risques : la liquidité, la perte permanente, l’évolution des relations et les événements extrêmes peuvent nécessiter un examen distinct. Qualifier un portefeuille de variance minimale n’a de sens que par rapport à ses paramètres et à ses contraintes.

Nous utilisons deux actifs fictifs, A et B. Les pondérations doivent être positives ou nulles et leur somme égale à un : le modèle n’autorise que des positions acheteuses, investit la totalité des fonds et n’inclut ni emprunt ni possibilité de détenir des liquidités. Supposons une corrélation nulle entre les rendements des actifs. Elle supprime le terme de covariance dans ce calcul ; elle ne signifie pas que les actifs sont indépendants ou qu’ils ne peuvent pas baisser ensemble.

Une réponse précise peut dépendre de paramètres incertains

Le modèle réduit la pondération de A parce que sa variance estimée est maintenant plus élevée. Il ne sait rien de la qualité des entreprises, des rendements futurs ou de la situation d’un investisseur. Les rendements attendus n’entrent pas dans cet objectif particulier ; le résultat ne peut donc pas justifier l’affirmation selon laquelle le portefeuille révisé offre un meilleur rendement.

La volatilité minimale révisée est plus élevée qu’avant, même si les pondérations s’adaptent. C’est cohérent : modifier un paramètre modifie le problème lui-même. Les nouvelles pondérations minimisent la fonction de variance révisée parmi les combinaisons autorisées ; elles ne rétablissent pas l’ancienne estimation de risque et ne prouvent pas que le risque réalisé correspondra à l’une ou l’autre estimation.

Le cours de mathématiques de portefeuille de CVX explique les pondérations, la covariance et les modèles moyenne–variance sous contraintes. Notre exemple retient l’objectif plus restreint de variance minimale et un calcul explicite à deux actifs. Aucun solveur logiciel n’est nécessaire pour le suivre. D’autres objectifs ou contraintes définiraient d’autres problèmes d’optimisation et pourraient produire des pondérations différentes.

Ce que le calcul laisse de côté

La volatilité et la corrélation sont estimées, plutôt que des propriétés fixes. Des échantillons et des périodes de mesure différents, ainsi que l’évolution des marchés, peuvent les modifier. L’hypothèse de corrélation nulle est particulièrement forte : un mouvement conjoint positif augmenterait généralement la variance d’une combinaison donnée à pondérations positives par rapport à cet exemple. L’optimisation ne peut pas supprimer l’incertitude des paramètres en calculant davantage de décimales.

Les coûts de transaction, les impôts, les limites de liquidité et les restrictions sur certains actifs sont omis. Il en va de même des prévisions de rendement et des pertes que la variance ne résume pas utilement. Une solution mathématiquement admissible peut donc être peu pratique ou inadaptée hors du modèle. Le travail pédagogique consiste à repérer ces omissions et à examiner la sensibilité, plutôt qu’à traiter le plus petit chiffre calculé comme une décision complète.