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跟随最小方差计算，检视结果对假设的依赖。
投资组合优化寻找在满足约束条件的同时，最符合指定数学目标的权重。目标可能与某项估计风险指标有关，约束条件则界定允许哪些组合。输出回答的是这个形式化问题，却无法判断这个问题是否涵盖个人或机构在意的一切。
此处的目标是最小方差，即使模型估计的投资组合收益率离散程度尽可能低。波动率是方差的平方根。两者都无法描述所有风险：流动性、永久损失、关系变化和极端事件可能需要另行考虑。只有结合输入和约束条件，称某个投资组合为最小方差组合才有意义。
我们使用 A 和 B 两项虚构资产。权重必须非负，且总和为一：模型仅允许多头、资金全额投入，不包含借款或持有现金的替代方案。假设两项资产收益率的相关性为零。零相关性使本次计算中的协方差项消失，但不代表资产相互独立，也不代表它们不能一起下跌。
起初，假设两项资产的年化波动率均为 20%。使用按一致年度口径估计的小数输入 0.20 和 0.20。在零相关性且风险估计相同的情况下，最小方差权重为各 50%。方差等于 0.5 的平方乘以 0.2 的平方，再加上同样的一项，得到 0.02。
取平方根后，投资组合年化波动率约为 14.14%。这是模型估计，不是最大可能亏损，也不是对结果范围的承诺。相较于 20% 的降低，来自假设的共同变动关系，以及权重进入方差公式的方式。
现在只将 A 的年化波动率估计改为 30%，B 仍为 20%，相关性仍为零。模型中 A 的权重变为 0.04 除以 0.13，约为 30.77%；B 的权重约为 69.23%。使用未舍入权重计算，投资组合年化波动率约为 16.64%。展示的百分比四舍五入至小数点后两位，这些假设输出不是配置建议。
| A 的初始模型权重 | 50.00% |
|---|---|
| B 的初始模型权重 | 50.00% |
| 初始投资组合波动率 | 14.14% |
| A 的修订后模型权重 | 30.77% |
| B 的修订后模型权重 | 69.23% |
| 修订后投资组合波动率 | 16.64% |
模型降低 A 的权重，是因为 A 的估计方差现在更高。模型并不了解公司质量、未来收益率或投资者的具体情况。预期收益率没有进入这一特定目标，因此不能凭输出声称修订后的投资组合能带来更好的收益率。
即使权重作出调整，修订后的最低波动率仍高于此前。这并不矛盾：改变输入，就改变了问题本身。新权重使修订后的方差函数在允许的组合中达到最小值；它们既不能恢复原先的风险估计，也不能证明实际风险会与任何一次估计相符。
CVX 的投资组合数学资料解释了权重、协方差和带约束的均值—方差模型。本例采用范围更窄的最小方差目标，以及两项资产的闭式计算，无需软件求解器也能理解。不同目标或约束条件会定义不同的优化问题，并可能产生不同权重。
波动率和相关性是估计值，并非固定属性。不同样本、度量期间和变化的市场环境，都可能改变它们。零相关性的假设尤其强：对于给定的正权重组合，与本例相比，正向共同变动通常会提高方差。优化计算无法通过增加小数位数来消除输入中的不确定性。
本例未考虑交易成本、税费、流动性限制和特定持仓限制，也未考虑收益率预测，以及方差无法有效概括的损失。因此，数学上可行的解，在模型之外仍可能不实用或不适当。学习的重点是识别这些遗漏并考察敏感性，而不是将算出的最小数字当作完整决策。
只报告“A 占 30.77%”却不说明假设，会隐藏结果的含义。这个数字属于特定目标、两项风险估计、零相关性以及所述约束条件。清晰的解释应让这些条件始终与输出一同呈现，并区分算术正确性和实际运用任何模型所需的判断。
可选数学推导：零相关性下，两项资产的最小值。所有波动率输入均使用小数，并采用相同的年度口径。
令 w 为 A 的权重，则 B 的权重为 1 − w。协方差为零使交叉项消失。可行区间为 0 ≤ w ≤ 1。
假设协方差为零。
求导得到 2wσA² − 2(1 − w)σB² = 0。解得下方权重。二阶导数为 2(σA² + σB²)，在本例输入下为正。解位于零与一之间，因此是满足约束条件的最小值。
起初 0.04 / 0.08 = 0.5。改变 A 后，0.04 / 0.13 ≈ 0.307692。
A 的方差对目标函数的贡献增加。在所述零相关性及约束条件下，最小值对应的权重向 B 偏移。
不是。标准差衡量离散程度，并非亏损上限，也不保证未来的观测结果。
估计值、目标或约束条件不同，定义的问题就不同。算术正确并不意味着这些假设可以互换。
通过下方相关文章，进一步了解本例背后的假设。
本文仅供信息参考与教育学习，不提供个性化投资建议。